不少家長跟筆者說過類似的話：「孩子平日做功課幾乎全對，一到測驗，題目稍為轉個樣子，就不知從何入手。」功課全對，代表孩子學會了嗎？筆者的看法是：做對例題，以及能夠獨立解決一道未見過的題目，是兩種不同的能力。前者可以靠模仿，後者要靠理解。
要分辨兩者，筆者常用的一個方法，是看學生能否說明一個方法「為什麼一定成立」。在高中數學裏，最直接訓練這種能力的，就是「證明」。IB數學AA HL與A-Level的課程，都設有證明的內容；但即使課程沒有要求，證明背後的思考，對每一個學生都有用。
一道看似簡單的題目
請證明：方程x³+x+1=0沒有整數解。
這道題目沒有複雜的計算，家長也可以試試看。在課堂上，筆者通常會見到三種反應。
第一種：逐個數字試
有學生會代入x=0、1、−1、2、−2，發現全部都不等於零，於是寫下「所以沒有整數解」。
這個做法很自然，也顯示學生明白「解」的意思。問題是，整數有無限多個，試過5個，只能說明「這5個不是」，不能說明「全部都不是」。如果孩子覺得這樣已經完成，往往表示他習慣了「算出答案」，卻未意識到數學要求的是「對所有情況成立」。
第二種：畫圖觀察
另一些學生會用計算機畫出y=x³+x+1的圖像，看見曲線只在x=−1與x=0之間穿過橫軸一次：x=−1時函數值是−1，x=0時是 1，所以那個解位於兩個整數之間。
這已經比逐個試進一步，因為學生開始利用函數的整體性質。不過，圖像只能顯示畫面範圍內的情況；要令論證完整，還要說明曲線為何只會穿過橫軸一次，例如指出這個函數一直上升。學生若能自己察覺「圖像看到的，還需要理由支持」，就已經在用證明的思維。
第三種：看數字的結構
第三種做法最簡潔。把式子改寫成x³+x+1=x(x²+1)+1，然後分兩種情況：若x是偶數，x(x² + 1)是偶數；若x是奇數，x²是奇數，x²+1就是偶數，乘積同樣是偶數。換言之，無論x是哪一個整數，x(x² + 1)都是偶數，再加1便一定是奇數。奇數不可能等於零，所以方程沒有整數解。
這個論證只用了「奇數」和「偶數」，卻一次過處理了無限多個整數。它的價值不在於技巧，而在於學生問了一個關鍵問題：「有什麼性質是所有整數都具備的？」
證明訓練的正是獨立解難
三種做法放在一起，家長大概可以看到分別：第一種是在找答案，第二種是在觀察現象，第三種是在解釋原因。遇到陌生題目時，能走得最遠的，通常是習慣問「為什麼」的學生，因為他們不依賴題目長得像不像以前做過的那一道。
這也是筆者認為不應只用分數衡量數學學習的原因。分數告訴我們孩子這次做對了多少；能否說明理由，則較能反映他下一次遇到新題目時，有沒有能力自己想下去。
家長可以問的三個問題
家長毋須懂得高中數學，也可以透過提問了解孩子的思考：
一、「你第一步為什麼這樣做？」能說出理由，比單純說「老師教的」更好；
二、「如果題目的數字改了，這個方法還可以用嗎？」這可以看出孩子是否明白方法的適用條件；
三、「你怎樣知道沒有漏掉其他情況？」這正是證明最核心的要求；
孩子未必每次都答得完整，這很正常。重要的是讓他習慣：數學不只是得出答案，還要能說服別人，答案為甚麼是對的。
撰文︰Ken Sir
學臻教育（Mathetactics）創辦人及IB數學導師，專注IB及A-Level數學。以三年全免學費獎學金修畢香港大學，著有多本高中數學參考書，曾獲朗文出版社邀請主講公開試分析講座。