不少人在理財書或講座上聽過一條速算法則：把72除以年利率，就大約得出本金翻一倍所需的年數。如年利率6%，72÷6＝12，大約12年；年利率8%，大約9年。這條「72法則」好記又好用，但很少學生會追問：為什麼偏偏是72？它在什麼情況下會不準？
這兩個問題，正好用得上高中數學裏的指數與對數。學生常問「學log有什麼用」，這是一個很實在的答案。
先寫出準確的式子
假設本金每年按年利率r複利增長，n年後翻一倍，即︰(1 + r)ⁿ=2
未知數在指數位置，這正是對數派上用場的地方。兩邊取自然對數，便得到n=ln 2÷ln(1+r)
以年利率6%為例，n＝ln 2÷ln 1.06≈11.9年，與72法則的12年非常接近。問題是，沒有人會在銀行櫃位前按計算機計ln，72法則的價值，在於把這條式子變成一個可以心算的數。
72從哪裏來？
ln 2約等於0.693。當r很小時，ln(1 + r)約等於r本身——這是曲線y＝ln(1+x)在x＝0附近的直線近似，學生在IB數學的微積分部分會學到。於是n≈0.693÷r；若把利率寫成百分數R（例如6%即R＝6），便得到n≈69.3÷R。
那為什麼不用69.3，而用72？原因有兩個。第一，ln(1 + r)其實略小於r，所以真正的年數比69.3÷R稍長，把分子稍為調高，在常見的利率範圍（約5%至10%）反而更準；計算可知，年利率約8%時，72幾乎準確無誤。第二，72可以被2、3、4、6、8、9、12整除，方便心算。換言之，72不是一條定理，而是在準確與方便之間作出的取捨。
有趣的是，若利息不是每年計一次，而是連續複利，準確答案正好是69.3÷R。同一個問題，假設改變了，最合適的數字也隨之改變。
什麼時候開始不準？
下表比較72法則與準確年數：
利率很低時，72法則略為高估；利率愈高，它愈低估，到36%時誤差已超過一成。下圖把這個趨勢畫了出來：誤差並非忽大忽小，而是隨着利率有規律地變化，這正是近似ln(1+r)≈r逐漸失效的結果。
不只是理財
同一條式子，適用於任何按固定百分率增長或減少的量。經濟科談通脹：若物價每年上升3%，貨幣購買力大約23至24年便減半；一個經濟體每年增長7%，產出約10年翻一倍。生物科的細菌繁殖、地理科的人口增長，也用「倍增時間」描述。學生在不同科目見到的「72」，背後其實是同一個對數問題。
懂得用 也要知何時不能用
套用72法則並不難，難的是說得出它背後的假設，以及它在哪裏開始失效。這種「知道工具何時可信」的判斷，比記住一條公式更有價值，也是高中數學希望學生帶走的能力。
家長不必懂得對數，也可以問孩子三個問題：
一、72法則算出來的答案跟準確答案相差多少？你怎樣知道？
二、如果年利率是30%，你還會用這條法則嗎？為甚麼？
三、除了存錢，你在其他科目見過同樣的增長嗎？
孩子若能清楚回答，說明他不只記住了公式，而是真正理解了它。
撰文︰Ken Sir
學臻教育（Mathetactics）創辦人及IB數學導師，專注IB及A-Level數學。以三年全免學費獎學金修畢香港大學，著有多本高中數學參考書，曾獲朗文出版社邀請主講公開試分析講座。